Pojmy Atraktor Zjednodušeně se dá říci, že je to konečný stav systému. Například pro reálné kyvadlo platí, že atraktorem je stav, kdy kyvadlo nemá kinetickou energii a potenciální energie je nejmenší, tedy kdy se přestane houpat. Naproti tomu atraktorem pohybu planety (Země) je uzavřená elipsa. Některé systémy mají podivný atraktor, vykazují chaotické chování. Všechny chaotické atraktory jsou fraktály.
Bifurkace Extrémní nestabilita systému, kdy jedna situace má dvě se vzdalující řešení. Cantrorovo diskontinuum(mračno) Nejjednodušší IFS fraktál. Konstruuje se na základě přímky. viz IFS fraktály Dimenze De facto udává, do kolika na sebe komých směrů se můžete v daném prostoru vydat. Rozlišujeme topologickou, fraktální dimenzi. Eukleidovská geometrie To, že je to základní geometrie, asi všichni víte. Je definována na nezakřiveném prostoru(D >=0). Popisuje jen tzv. geometricky hladké útvary(bod, přímka, čtverec, krychle, koule...). Je vhodná pro schématické úlohy, není schopna přeně popsat reálný svět. Fraktál Matematická definice tohoto pojmu zatím neexistuje. Nejblíže skutečnosti je patrně definice B. Mandelbrota: "Fraktál je takový útvar, jehož Hausdorfova dimenze je větší než dimenze topologická." To znamená, že fraktál nemá jako krychle 3, či jako přímka 1 rozměr, ale jeho dimenze je neceločíselná. To nemusí platit vždy, např.Hilbertovy či Peanovy křivky vyplňují celou rovinu. Mimo Mandelbrotovy definice existuje i tzv. obecná definice: "Fraktál je takový útvar, při jehož zvětšení dostaneme opět stejný obraz, bez ohledu na měřítko" Pro doplnění, vlastnost popsaná v této definici se nazývá invariace vůči změně měřítka. Fraktální dimenze =Hausdorffova dimenze DH (Matematická reprezentace) de facto udává "fraktálnost" daného objektu. Spočítá se takto: Délka obvodu fraktálu K=NeD , měřítko s=1/N. Jestliže dosadíme za K=1, pak můžeme vyjádřit DH =log(N)/log(1/s). Fraktální geometrie Geometrie zabývající se nekonečně členitými (přírodními) útvary. Geometricky hladké útvary Eukleidovská geometrie popisuje jen geometricky hladké útvary. Jsou to tedy notoricky známá tělesa jako kvádr, koule... Tyto útvary mají několik vlastností (povrch, objem) které jsou deterministicky spočítatelné. Chaos (determinstický) Schopnost jednoduchých systémů bez zabudovaných nahodných prvků vykazovat vysoce nepředvídatelné a neuspořádané chování. Nechová se ovšem náhodně. Nemůžeme sice zjistit bez výpočtu stav systému v budoucnosti, ale pro stejné počáteční parametry se systém chová stejně. Ovšem i nepatrná změna parametrů (jiný počet desetinných míst) může ale také nemusí znamenat naprosto odlišné chování. viz. pojednání o chaosu IFS Iterační funkční systémy. Jedná se o skupinu fraktálů, či o metodu jejich konstrukce. Na počáteční bod iterativně aplikujeme afinní transformace. Po dostatečném (nekonečném) počtu iterací dostaneme kýžený fraktál. viz. IFS Kochova křivka Jedná se o IFS fraktál. Počáteční bod představuje přímka. Tu rozdělíme na tři části, druhou vyjmeme. Vzniklu mezeru "zastřešíme rovnostranným trojůhelníkem. L-Systémy Skupina fraktálů, používaná při výzkumu přírody.Vznikají z počátečního nefraktálního symbolu na základě generátoru. viz. L-Systémy Mandelbrotova množina (Mset) Polynomický fraktál(TEA). Vzniká na základě rovnice z=z2+c, kde z i c jsou komplexní čísla, c je pozice bodu a z je iterovaná proměnná (dá se říci odkládací, temp proměná). Mset tvoří jakýsi katalog Juliových množin. Její význam je čistě estetický viz. M-Set Nekonečně členité útvary Pro snažší pochopení vyjděme z problému zkoumání délky ostrova. Ve velkém měřítku se nám jeví jako nějaké menší číslo. Se zvětšujícím se měřítkem (do výpočtu zahrnujeme stále nové a nové detaily) se délka zvětšuje a při dokonalé přesnosti dosáhne nekonečna. Nekonečně členitý útvar tedy zabírá v prostoru (rovině) poněkud více místa, než hladké útvary je "kostrbatý" a nekonečně dlouhý (pro vícerozměrné nekonečně objemný) Sierpinského trojúhelník Klasický IFS fraktál. Počáteční bod je trojúhelník a iterativně z jeho středu vyjímáme jeho čtvrtinu. Další možnost konstrukce se nazývá chaotická hra. viz IFS Soběpodobnost Kterákoliv část fraktálu je přesnou kopií původního motivu. Vyskytuje se jen u čistě matematických struktur, protože jednak jsme v přírodě omezeni velikostí částic (některé se zdají být nedělitelné) a dále těžko v přírodě vznikne takto dokonalý fraktál. Soběpříbuznost Je to určité zobecnění soběpodobnosti. Kterákoliv část fraktálu je velmi podobná, ne však zcela shodná s původním motivem TEA Skupina fraktálů. Ty vznikají na základě jednoho polynomu(rovnice). Jejich význam je především estetický či se dají využít pro zkoumání vlastností té konkrétní rovnice. Pro výzkum reálného světa nemají praktický význam. Topologická dimenze De facto udává, kolika dimenzionální je daný útvar. To můžeme zjistit podle počtu souřadnic nutných k přesnému určení bodu, který patří zkoumanému objektu. pro bod platí, že D=0, přímku, jakoukoliv křivku (tedy i pro klubko motouzu-křivka ve 3D prostoru) D=1, čtverec, kruh, libovolné polygony, dokonce i pro kulovou plochu (povrch koule) D=2 atd. Pro hranici M-Set platí, že D=1, jedná se totiž o křivku (nezaměňovat s DH). |