"Rozumné" eukleidovské tvary mají tu vlastnost, že se změnou měřítka nemění např. obvod. Takový čtverec si klidně zvětšujte až do aleluja, ale obvod, obsah a rozměry jednotlivých stran zůstanou nezměněny. Také těžko uvnitř čtverce uvidíte další, menší čtverce, či útvary jemu podobné. Čtverec je tedy tzv. geometricky hladký útvar. U fraktálů se setkáváme s naprostým opakem. Vezměme např. problém měření délky ostrova, kterým se zabýval Richardson. Nejprve ji změříme na mapě světa, třeba "odkrokujeme" kružítkem. Získáme nějakou hodnotu x. Pak vezmeme mapu s větším měřítkem a získáme hodnotu x+y. Poté pro změnu obejdeme ostrov pěšky. Tak zachytíme ještě menší detaily, které na mapách z pochopitelných důvodu zaneseny nejsou. Aby toho nebylo málo, zmenšíme se do velikosti mravence, a poctivě si to odpochodujeme(tedy žádné přeskakování balvanů). Kdybychom se takto zmenšovali do nekonečna, vyšla by nám délka ostrova nekonečná! Podobný problém nenalézáme samozřejmě jen u délky pobřeží, např. Portugalsko uvádí délku hranic se Španělskem 1214 km, kdežto Španělsko má s Portugalskem hranici jen 987 km. Kterýkoli ostrov je tedy nekonečně členitý útvar. Richardson empiricky odvodil následující vztah:

K = N*e^D
K – délka pobřeží
N – počet úseček nutných k aproximaci
e – délka úsečky
D – konstanta, kterou neuměl Richardson odvodit, to dokázal až B. Mandelbrot

Další typické znaky fraktálů jsou lépe patrné na jiných modelech. Vezměme takový strom. Zdálky může vypadat jako trojúhelník, při přibližování (změně měřítka) se bude vyjasňovat jeho struktura (větve) při dalším přiblížení zjistíme, že jednotlivé větvičky "vytvářejí" obraz celého stromu. Tato vlastnost se nazývá soběpodobnost, ale s ní se setkáváme především u matematických modelů, v přírodě se objevuje hlavně soběpříbuznost.

Kterákoliv část fraktálu je přesnou kopíí původního motivu. Jak již bylo řečeno, jinde než u matematických struktur se s ní nesetkáme. Ty se naštěstí dají velice dobře znázornit, takže váš počítač může vykreslit i velice efektní soběpodobné útvary

Kterákoliv část fraktálu je podobná původnímu vzoru. V přírodě se jedná např. o větve či kořeny stromu, mraky, pouští duny atd. atd…

Z problému zkoumání délky ostrova vyplívá jeden závažný důsledek. Pokud totiž nabývá křivka nekonečné délky, měla by v rovině "zabírat o něco více místa", než hladký útvar. To "více místa" se nazývá Hausdorffova dimenze a u fraktálů je vždy větší než topologická dimenze. Přímka má topologickou dimenzi 1, čtverec 2, krychle 3, nadkrychle 4 atd. jestliže obvod fraktálu K = N*e^D pak měřítko s=1/N. Dosazením K=1 se Hausdorffova dimenze D_H= log(N) / log(1/s). V praxi nám většinou nestačí takto jednoduše dosadit, používá se několik metod, např. obvodová metoda nebo mřížková metoda.

OBSAH