Mandelbrotova množina

Jedná se o polynomický  nelineární deterministický fraktál a patrně nejznámější fraktál vůbec. Objevil jej Benoit Mandelbrot v 70. letech 20. století při pokusu o nalezení jakéhosi "katalogu" Juiových množin. Vzniká iterativně, a je definován rovnicí z=z²+c, kde z i c jsou komplexní čísla. Je to potvrzení teorie, že i velice jednoduché systémy mohou vykazovat chaotické chování. V m-set, jak se zkráceně mandelbrotova množina nazývá, je c konstanta a zároveň pozice vykreslovaného bodu. Počáteční hodnota z je [0;0] a slouží de facto k uchování hodnoty. Správně by se měly vyzkoušet všechny body roviny(dosadit je za c), ale pro |z| systém diverguje. Jak to můžeme tvrdit? Použijeme důkazu, který využívá trojúhelníkové nerovnosti pro komplexní čísla |a+b|>=|a|-|b|, kde za a dosadíme z² a za b konstantu c. Tedy  |z² + c| = |z²| - |c|. Nyní je nutné najít minimální hodnotu |z|, při jejímž překročení je |z² + c|>|z|. Nazvěme tuto hodnotu třeba r. Potom r² -|c|=r a když převedeme vše nalevo, dostaneme r² -r-|c|=0. Z rovnice vyplívá. že r=(1+(1+4|c|^1/2)/2. Známe tedy hodnotu r. Vzhledem k tomu, že před první iterací z=0, tak po ní z=c. V předchozích vzorcích můžeme tedy r nahradit |c|. |c|² -2|c|=0 tzn. |c|=2. Nyní můžeme bez obav vypustit z výpočtu všechny body, které nepatří do kružnice o poloměru 2 s počátkem v bodě [0,0]  Pro případ, kdy |z| směřuje k nule neexistuje žádný důkaz, a proto musíme poctivě vyzkoušet všechny body v kruhu o poloměru 2. Všechny body vně a některé uvnitř, které divergují, nepatří do množiny, ostatní ano. M-set je souměrná podle osy x, podle osy y nikoli. Hranice mezi dvěmi oblastmi přitažlivosti je nekonečně tenká, ale také nekonečně členitá. Její Hausdorffova dimenze je rovna 2, jedná se tedy o nejčlenitelnější útvar v ploše o omezeném obsahu. V základní množině nejsou pochopitelně patrné všechny detaily, a proto se provádí zoomování. Tak můžeme např. objevit menší kopie M-set, různě natočené či modifikované. M-set můžeme zvětšovat donekonečna a stále objevujeme nové a nové detaily. Jednotlivé body můžeme obarvit podle libovolné palety, a tak ze zdánlivě stejného obrázku dostaneme různé variace  na to samé téma.

Výpočet Mandelbrotovy množiny

<>Jedná se o Time escape algorithm. Potřebujeme dva vnořené cykly, které nám vyznačují zkoumaný čtverec (obdélník). V základní množině je to -2;2 a -2;2. Déle si určíme maximální počet iterací, např. 100. Při dobré implementaci dostáváme kvalitní obrázky i s přesností 30, ale čím menší přesnost, tím menší detaily. Řídící proměné cyklů představují konstantu c, a proto uvnitř druhého cyklu se nachází další, jehož horní hranice je právě hodnota přesnosti. Pokud abs(z) > 2 tak se cyklus ukončí a bod se obarví příslušnou barvou. Pokud není nalezen směr atraktoru, bod do množiny patří a obarví se například černě. Díky paletě můžeme dosáhnou až překvapivě efektních obrázků. M-set nenaleznete v přírodě, ale třeba ve Photoshopu a podobných programech.

Algoritmus v metajazyce C

for (x=-2,x>2,x+=posun)
{
a++
for (y=-2,y>2,y+=pusun)
{
for (p=1,p>presnost,p++)
b++
{
ztemp=[z]*[z]+[x,y]
z=ztemp
Pokud (z1*z1+z2*z2) > 4 pak bod nepatří; obarvi bod [a,b]přislušnou barvou
}
Pokud  cyklus proběhl celý, bod [a,b] patří
}
}

Zde hranaté závorky neoznačují pole, ale komplexní číslo. Např. [z] se zde chápe jako [z1;z2]. Proměná posun označuje jemnost našeho postupu. Pokud bude např. 0,1, cykly proběhnou 40x a obrázek bude mít rozměr 40x40 bodů. Výhodné je nastavit ji na 0,01, to je podle mě ideální kompromis mezi velikostí a rychlostí. Rychlost je skutečně limitující faktor, při přesnosti 100, a posunu 0,01 jsem napočítal přes 1 000 000 iterací. Tady už záleží jen na tom, jak si s příslušným jazykem dokážete pohrát. Na mém dinosauřím pentiu 200, 32 MB RAM trval výpočet základní množiny (posun=0,01;přesnost 100) asi 3,5 vteřiny. Program byl napsán ve Visual Basicu a optimalizován pro rychlost. Program i se zdrojákem si můžete stáhnout zde. Rozhodně není dotažený do konce, a tak pokud máte VB, zkuste si své vývojářské schopnosti. Doporučuji při kompilaci zakázat všechny ochrany proti chybám. Sbírku algoritmů uvádím v několika jazycích zde.

Tady je zdroják ve Visual Basicu. Potřebuje jeden PictureBox, pár textboxů }6], a je dobré jej opatřit i tlačítkem start.
Private Declare Function SetPixelV Lib "gdi32" (ByVal hdc As Long, ByVal x As Long, ByVal y As Long, ByVal crColor As Long) As Long
Private Type Komplexni
x As Double
y As Double
End Type

Dim barva() 'počet barev-ten si musíte nastavit sami, ale měl by se rovnat či být větší než přesnost výpočtu
Dim hdc1 as long
Dim přesnost As Long, zx As Double
Dim zy As Double, i As Long
Dim t As Long, tt As Long
Dim ttt As Double, tttt As Double
Dim z As Komplexni, o As Double
Dim okolikT As Double, pres As Double
Dim pom As Long
hdc1=picture1.hdc
Picture1.Cls 'Vyčištění pictureboxu-oceníte zejména tehdy, když je další obrázek podobný tomu předchozímu
startt = CDbl(Text1.Text) 'Uživatel nastaví x-ovou souřadnici
starttt = CDbl(Text2.Text) 'Uživatel nastaví y-ovou souřadnici
zoom = CDbl(Text3.Text) 'Uživatel nastaví zvětšení
přesnost = CDbl(Text4.Text) 'Uživatel nastaví max. počet iterací pro jeden bod
pres = (přesnost \ 2) - 1 'Menší fígl, vysvětlen dále
výška = CLng(Text6.Text) 'Uživatel nastaví výšku obrázku(počet bodů)
šířka = CLng(Text5.Text) 'Uživatel nastaví šířku obrázku
okolikT = 1 / zoom 'Posun reálné a imaginární složky
ttt = startt
tttt = starttt
NaplňBarvy() 'Pouze imaginární procedura pro určení barev
For t = 0 To výška
ttt = ttt + okolikT 'Posun reálné složky
For tt = 0 To šířka
tttt = tttt + okolikT 'Posun imaginární složky
z.x = ttt 'Místo z=0 rovnou přiřadíme z hodnotu c[ttt,tttt]-opatření pro snížení počtu operací
z.y = tttt
For i = 1 To pres
zx = z.x * z.x - z.y * z.y + ttt ' Jedna iterace
zy = 2 * z.x * z.y + tttt
z.x = (zx * zx - zy * zy) + ttt' Druhá iterace- proto si můžeme dovolit přesnost dělit dvěma, na přesnost to nemá vliv
z.y = 2 * zx * zy + tttt 'Pokud vám nejsou operace s komplexními čísly známy, musíte mi věřit.
If z.x * z.x + z.y * z.y > 4 Then GoTo oto 'Pokud je mimo, vykresli bod. z*z je použito proto, že z^2 je výrazně pomalejší
Next i
GoTo otoo1 'Pokud patří, nic nekresli (bod má barvu pozadí). Dost to zrychluje
oto:
SetPixelV hdc1, t, tt, barva(i) 'Funkce API je asi o dva řády rychlejší než metoda line
otoo1: 'Pokud neholdujete nepodmíněným skokům, tak se moc nerozčilte
Next tt
tttt = starttt 'Nasravení pomocné proměné pro z na správnou hodnotu
DoEvents
Next t

Nekomentovaný zdrohový kód v jazyce Java. Staženo z http://honzour.kgb.cz/java/mandel.java a pokud vám nebude fungovat, stěžujte si tam.

import java.awt.event.*;
import java.awt.*;
import java.applet.*;
import java.awt.image.*;

public class mandel extends Applet {
Image i;

Image MandelBrot(int x,int y){
int i,j,iter;
double im,re,zr,zi,pom;

int[] p=new int[x*y];
for(i=0;i<x;i++){
re=3*i; re=re/x-2.1;
for(j=0;j<y;j++){
im=3*j; im=im/y-1.5;
zr=0;zi=0;

for(iter=0;iter<=9;){
pom=(zr*zr-zi*zi)+re;
zi=(2*zr*zi)+im;
zr=pom;
if(zr*zr+zi*zi>=4) break;
iter++;
}
p[i+j*x] = (255<<24)|((25*iter) << 16) | ((255-20*iter) << 8) | 100+10*iter; 
}
}
return createImage(new MemoryImageSource(x, y, p, 0, x));
}

public void init(){
i=MandelBrot(400,400);
}

public void paint(Graphics g){
g.drawImage(i,0,0,java.awt.Color.black,this);
}
}

<>Zajímavé útvary netvoří jen rovnice  z=z²+c. Známe různé variace dané např. změnou exponentu, či úpravou původního vzorce ( z=sin(z²)+c,z=cos(z²)+c). Ještě zajímavější fraktály vzniknou, jestliže mocníme z ne exponentem reálným, ale komplexním. Pak totiž začnou vznikat čtyřrozměrné útvary. Pokud vyříznete část 4D prostoru 3D prostorem, pak můžete spatřit, co jste ještě neslyšeli. Následující bajty tohoto souboru obsahují nejprve "normální m-set, a pak její variace.

Jiná paleta m-set

Malá modifikace vzorce

Ještě menší modifikace

Má oči po babičce

Polynomické fraktály tvoří fascinující obrazce a pokud máte dobrou tiskárnu, můžete si vytapetovat pokojíček.